クオータニオンとオイラーの公式

オイラーの公式とは以下のような公式である。

${\rm e}^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

特に $\theta = \pi$ の時

${\rm e}^{i\pi} + 1 = 0$

となり、無関係に作られた３つの定数 $i, \pi, {\rm e}$ と $0, 1$ が１つずつ現れて１つの式で繋がるという美しさから、人類の至宝であるとも言われている。（ $1$ を右辺に移項して ${\rm e}^{i\pi} = -1$ と書くこともある。）

オイラーの公式は、実のところ公式というよりは、どちらかと言うと ${\rm e}$ の純虚数乗の定義である。厳密に言えば、 ${\rm e}$ の純虚数乗の定義は以下のようになる。

${\rm e}^{i\theta} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\theta)^n}{n!}$

これは、 ${\rm e}^x$ （ $x$ は実数）のマクローリン展開の $x$ の部分に、単に無理矢理 $i\theta$ を代入しただけのものである。これと $\cos\theta$ と $\sin\theta$ をマクローリン展開したものを比べると、直ちにオイラーの公式が導かれる。

では、 ${\rm e}$ の、純虚数ではなく一般の複素数による冪 ${\rm e}^z = {\rm e}^{x + iy}$ はどうなるのだろうか？　これは単に

${\rm e}^{x + iy} = {\rm e}^x {\rm e}^{iy} = {\rm e}^x (\cos y + i\sin y)$

となるだけである。

ここで何となく ${\rm e}^{x + iy} = {\rm e}^x {\rm e}^{iy}$ としたが、これは $x$ と $iy$ とが交換する（ $x \cdot iy = iy \cdot x$ ）からこそ成り立っている点に注意する。

${\rm e}^{A + B}$
$\qquad\qquad= \sum_{n=0}^\infty \frac{(A + B)^n}{n!}$
$\qquad\qquad= \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^n \frac{{}_nC_m A^m B^{n-m}}{n!}$
$\qquad\qquad= \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^n \frac{A^m B^{n-m}}{m!(n-m)!}$
$\qquad\qquad= \sum_{p=0}^\infty \sum_{q=0}^\infty \frac{A^p B^q}{p!q!}$
$\qquad\qquad= {\rm e}^A {\rm e}^B$

となるのだが（最後の和の取り方の変更は、 $m$ と $n-m$ が $n = 0 \sim \infty, m = 0 \sim n$ でどんな値を舐めるかを図にしてみると分かると思う）、この中で使用した

$(A + B)^n$
$\qquad\qquad= (A + B)(A + B) \cdots (A + B)$
$\qquad\qquad= A^n + BA^{n-1} + ABA^{n-2} + A^2BA^{n-3} + \cdots + A^{n-1}B + \cdots + B^n$
$\qquad\qquad= \sum_{m=0}^n {}_nC_m A^m B^{n-m}$

の公式が成り立つには

$BA^{n-1} + ABA^{n-2} + A^2BA^{n-3} + \cdots + A^{n-1}B = {}_nC_1 A^{n-1}B$

などが成り立つ必要があり、このためには $A$ と $B$ とが交換する必要があるのだ。このあたり、 ${\rm e}$ のクオータニオン乗を考える際に注意する必要がある。

では、早速 ${\rm e}$ のクオータニオン乗を考えてみよう。まず、クオータニオンは一般に

$q = s + ix + jy + kz$

の形で表される。ここで、 $x, y, z$ を極座標で表すと、

$x = r\sin\theta\cos\phi$
$y = r\sin\theta\sin\phi$
$z = r\cos\theta$

となる。これを使うと、クオータニオンは

$q = s + r (i\sin\theta\cos\phi + j\sin\theta\sin\phi + k\cos\theta)$

と書ける。ここで

$I \equiv i\sin\theta\cos\phi + j\sin\theta\sin\phi + k\cos\theta$

と定義すると、

$q = s + Ir$

となる。実はこの $I$ は複素数単位と同様、二乗すると $-1$ になるのである。

$I^2$
$\qquad\qquad= (i\sin\theta\cos\phi + j\sin\theta\sin\phi + k\cos\theta)$
$\qquad\qquad\quad\quad\quad\cdot (i\sin\theta\cos\phi + j\sin\theta\sin\phi + k\cos\theta)$
$\qquad\qquad= i^2(\sin\theta\cos\phi)^2 + j^2(\sin\theta\sin\phi)^2 + k^2\cos^2\theta$
$\qquad\qquad\quad\quad\quad+ \{j, k\}\sin\theta\cos\theta\sin\phi + \{k, i\}\sin\theta\cos\theta\cos\phi + \{i, j\}\sin^2\theta\sin\phi\cos\phi$
$\qquad\qquad= -[(\sin\theta\cos\phi)^2 + (\sin\theta\sin\phi)^2 + \cos^2\theta]$
$\qquad\qquad= -\left|(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)\right|^2$
$\qquad\qquad= -1$

従って、あとは ${\rm e}$ の複素数乗の場合と同様に考えると

${\rm e}^q = {\rm e}^{s + Ir} = {\rm e}^s (\cos r + I \sin r)$

となるわけである。これがクオータニオンを使ったオイラーの公式になる。

一般にクオータニオンは交換しないので、上で話したように

${\rm e}^{p + q} = {\rm e}^p {\rm e}^q$

が成り立つとは限らない。（ $p, q$ はクオータニオン。）これが成り立つのは、 $p$ の $I$ と $q$ の $I$ とが交換する場合のみである。

この $I$ はクオータニオンをイメージする上で非常に重要である。 $I$ は $\theta$ と $\phi$ に依存しており、この $\theta$ と $\phi$ はベクトル $(x, y, z)$ の向きを表している。 $z = s + ir$ と $q = s + Ir$ の違いは、単に、単位となる $I$ が普通の複素数の時とは異なり、色んな方向を向く事ができるということである。ただ、もし $I$ が交換する値、すなわち $I$ が互いに平行な値だけを考えるのであれば、それは複素数を考えていることと同じことになる。クオータニオンがクオータニオンである意味を持つには、互いに平行でない $I$ を持つ値同士を考えたときだけなのである。