クオータニオンを捉え直す - ロベールの小部屋

クオータニオン（四元数）は複素数の拡張概念で、以下のように定義される。

$q = s + ix + jy + kz,{\quad}(s, x, y, z \in {\cal R})$
$i^2 = j^2 = k^2 = -1,{\quad}ijk = -1$

複素数単位 $i$ と同じようなものを３つ作って、全ての単位の積が $-1$ になるという定義である。これにより、各単位は反交換することも分かる。

$jk = -iijk = i = -ijj = ijkkj = -kj,$
$ki = -jjki = jiijki = -jii = j = iijkk = -ik,$
$ij = -ijkk = k = -jjk = jiijk = -ji$

これがクオータニオンのよく知られた定義であるが、別の定義を行うことも可能である。
と言ってもそんな奇抜な定義ではない。単に

$i^2 = j^2 = k^2 = -1,$
$jk = -kj,{\quad}ki = -ik,{\quad}ij = -ji,$
$ijk = -1$

から４つの式を作成し、それを定義とすればいいだけである。

このうち、以下の４つの式を定義としてみよう。

$i^2 = j^2 = -1,{\quad}ij = -ji = k$

この定義を使うと他の性質は以下のように導出できる。

$k^2 = ijij = -ijji = ii = -1,$
$ijk = kk = -1,$
$jk = jij = -ijj = -kj,$
$ki = iji = -iij = -ik$

この定義は以下のようなものだと解釈できる。

複素数単位 $i$ と同じような単位をもう１つ増やす（ $j$ ）
$i$ と $j$ は互いに反交換する
$1,{\quad}i,{\quad}j,{\quad}ij$ は線形独立である

こういう風に定義すると、定義上同列に扱われているのは $i$ と $j$ の２つになり、 $ij = k$ が $i$ や $j$ と同じような性質を持つのは偶然という事になる。従来の定義が $i,{\quad}j,{\quad}k$ を同列で扱うことにこだわっているのとは対照的である。

このようにクオータニオンを捉え直すと、複素数単位のようなものを増やしていけば、いくらでも概念を拡張する事が出来る。

$i(1,k)^2 = -1$ となる異なる $i(1,k)$ が $n$ 個存在する $(1 \leq k \leq n)$
$i(1,k)$ は互いに反交換する
個の異なるの積をと定義する
- $i(m,l) = i(1,l_1)i(1,l_2)...i(1,l_m)$
- $l = \{l_1,l_2,...l_m\},{\quad}1 \leq l_1 < l_2 < ... < l_m \leq n$
$i(0,\emptyset) = 1$ と定義する
$i(m,k) (0 \leq m \leq n)$ は線形独立

$n = 0$ が実数で、 $n = 1$ が複素数で、 $n = 2$ がクオータニオンというわけだ。 $n = 3$ からは新たな概念となる。（ $n = 3$ はオクトニオン（八元数）とは異なる性質を持つ。結合法則も捨ててないし、全ての単位が二乗して $-1$ になるわけでもない。）

これにより定義される体を ${\cal X}_n$ と呼んでみる。（ ${\cal X}$ は compleX の X のつもり。） ${\cal X}_n$ は以下の性質を持つ。

${\rm dim} {\cal X}_n = \sum_{m=0}^n {}_nC_m = (1+1)^n = 2^n$
- $i(m,k)^2 = 1$ （ $m(m+1)/2$ が偶数）
- $i(m,k)^2 = -1$ （ $m(m+1)/2$ が奇数）
$i(m_1,k_1)i(m_2,k_2) =$

${\qquad}{\qquad}{\qquad}\{1 - 2[(m_1m_2 - c(k_1,k_2)) {\quad}{\rm mod}{\quad} 2]\} i(m_2,k_2)i(m_1,k_1)$

- $[i(m_1,k_1), i(m_2,k_2)] = 0$ （ $m_1m_2 - c(k_1,k_2)$ が偶数）
- $\{i(m_1,k_1), i(m_2,k_2)\} = 0$ （ $m_1m_2 - c(k_1,k_2)$ が奇数）
- $c(k_1,k_2) = n(k_1 \cap k_2)$
- $u(k_1,k_2) = k_1 {\quad}{\rm xor}{\quad} k_2$
- $s(k_1,k_2) =$ $k_1$ と $k_2$ を連結し、順序よく並ぶまで交換した時の最小の交換回数に $c(k_1,k_2)$ を足した数が偶数なら $1$ で奇数なら $-1$ （ややこしい・・・）

いくつかの単位は二乗して $1$ となるが、 $i(0,\emptyset)$ 以外のそれらは全て $1$ とも互いともそれらの実数倍とも異なる数である。それらの単位の逆元は、それ自身となる。

奇妙な性質のように思うだろうが、丁度、二乗して $0$ となるが $0$ ではない数であるグラスマン数と似たようなものだと考えると良い。それでもイメージの湧かない人は $\left(\begin{matrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \cr \end{matrix}\right)$ と似たようなものと考えたのでも良い。

$\left(\begin{matrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \cr \end{matrix}\right) \neq \pm\left(\begin{matrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \cr \end{matrix}\right),{\quad}\left(\begin{matrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \cr \end{matrix}\right)^2 = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \cr \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \cr \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \cr \end{matrix}\right)$

さらに拡張するなら、 $i(1,k)^2$ が $-1$ 以外の値になってもいいし、 $i(1,k)$ が反交換でなくても良い。

とか考えてみたものの、だから何だと言われても困る。だが、それがいい。