量子力学を勉強しているとスピンという概念が出てくる。スピンは粒子が持つ自由度の１つであるのだが、摩訶不思議な性質を持っている。このスピンを扱う際に、パウリ行列というものを使う事がある。パウリ行列は３種類の２×２行列で、以下の形を取る。

クオータニオンによるベクトルの回転は以下のように表される。 ここで、 の が回転したいベクトルであり、 の が回転軸（大きさ のベクトル）、 が回転角である。

では、互いに平行でない単位 の間には一体どんな関係が成り立つのだろうか？ これらの関係で最も重要なのは、 と とが交換しないという点である。従って、これらの交換関係を見るのが良いだろう。

オイラーの公式とは以下のような公式である。 特に の時 となり、無関係に作られた３つの定数 と が１つずつ現れて１つの式で繋がるという美しさから、人類の至宝であるとも言われている。（ を右辺に移項して と書くこともある。）

クオータニオン（四元数）は複素数の拡張概念で、以下のように定義される。 複素数単位 と同じようなものを３つ作って、全ての単位の積が になるという定義である。これにより、各単位は反交換することも分かる。 これがクオータニオンのよく知られた定義で…